En 1900 s'est tenu à Paris le deuxième congrès international de mathématiques. Un mathématicien, David Hilbert, y présenta une conférence cruciale. Hilbert avait choisi vingt-trois problèmes mathématiques ayant tous deux points communs: aucun d'entre eux n'avait été résolu, et Hilbert les considérait comme les problèmes alors les plus importants et pensait qu'ils seraient les moteurs de la recherche mathématique du XXème siècle. Parmi ces problèmes, on trouve par exemple l'hypothèse du continu (en gros, il s'agit d'une question sur la "taille" des ensembles infinis). Ces problèmes sont depuis appelés "problèmes de Hilbert" et un grand nombre d'entre eux ont en effet été résolus au cours du siècle passé.
Exactement un siècle plus tard, il fallut donc en trouver d'autres, ce que fit Landon Clay. Contrairement à Hilbert, Clay n'est pas mathématicien. En revanche, il est très riche. C'est ainsi qu'il choisit sept nouveaux problèmes pour le XXIème siècle et dota chacun d'un prix. Pour chaque problème, un million de dollars américains attend au Clay Institute (fondé en 1998 par Clay) d'être offert à la première personne qui publiera un article donnant une solution acceptée par la communauté mathématique internationale...
II) Les sept problèmes
Voici donc les sept problèmes à un million de dollars et appelés problèmes du millénaire. Vous vous en doutez, à ce prix, il s'agit de questions extrêmement difficiles, touchant des domaines très pointus. C'est pourquoi je ne pourrai en donner ici qu'une vague idée...
Ce problème faisait déjà partie des problèmes de Hilbert (numéro 8). Vous connaissez probablement les nombres premiers: il s'agit des nombres qui ne se divisent que par un et eux-mêmes, comme 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc, alors que 9 n'est pas premier puisqu'on peut le diviser par 3. La première question des hommes fut de savoir combien il existait de nombres premiers. La réponse vint rapidement, et elle est assez simple (démonstration de niveau terminale): il y en a une infinité. Vient alors une autre question: étant donné un nombre, peut-on vérifier s'il est premier? Il existe pour cela un algorithme simple et clair, consistant à essayer de le diviser par tous les nombres plus petits; si aucun n'a marché, le nombre est premier. Cet algorithme est toutefois même pour les ordinateurs très long à appliquer (voir ci-dessous, "P = NP"). Une question plus pointue est de savoir comment se répartissent les nombres premiers: peut-on trouver une formule donnant pour un rang donné le nombre premier ayant ce rang (c'est-à-dire qu'à 1 on associe 2, à 2 on associe 3, à 3 on associe 5, à 4 on associe 7, à 5 on associe 11, ...)? Riemann a étudié la question et pour cela, il a inventé en 1859 une fonction, appelée fonction zêta, et définie sur R2 (c'est-à-dire que ses arguments ne sont pas des nombres mais des couples de nombres). Il a ensuite formulé une hypothèse sur la répartition des couples qui annulent zêta: leur premier nombre doit être 1/2. C'est cette propriété qu'il s'agit de démontrer (ou infirmer)...
Cette conjecture concerne une théorie appelée topologie, qui étudie la forme des objets. Une théorie qui lui est liée, appelée géométrie différentielle, introduit la notion de variété. Une variété est un espace où le voisinage de chaque point peut être vu comme un espace euclidien (c'est-à-dire un endroit "plat" classique). Par exemple, en chaque point de la surface terrestre, en imaginant qu'il n'y ait pas de montagne, si on se restreint à une petite zone autour de soi, on a l'impression que le sol est plat: la Terre est une variété. De plus, si vous étudiez ce petit espace autour de vous, vous avez besoin de deux coordonnées pour vous repérer: la longitude et la latitude. La Terre est ainsi appelée variété de dimension 2. Elle est plongée dans un espace de dimension 3: l'univers (oublions un instant la théorie des cordes qui donne à l'univers plus de 3 dimensions...). La conjecture de Poincaré s'intéresse à des variétés de dimension 3, c'est-à-dire des objets plongés dans un espace à quatre dimensions spatiales (ce qu'on ne peut pas imaginer, puisque notre propre monde n'en a que trois). La conjecture énonce que si l'on prend une variété de dimension 3, et si on y constate que toute boucle peut être réduite à un simple point, alors cette variété est en fait une boule... Vous n'avez pas tout compris? C'est normal...
Elle s'intéresse également à des variétés, qui sont dites variétés algébriques. Les variétés algébriques peuvent être représentées par des équations polynomiales, c'est-à-dire que les coordonnées de l'espace ne peuvent y être présentes qu'avec des puissances entières, mais pas avec des racines carrées, des logarithmes, ... Par exemple dans un plan, un cercle est une variété algébrique (équation x2 + y2 - 1 = 0) ainsi qu'une parabole (x2 - y = 0) mais pas une courbe exponentielle (exp(x) - y = 0). La conjecture fait un lien entre la topologie d'une variété (c'est-à-dire les propriétés de sa forme) et les équations qui la définissent.
Certaines courbes sont appelées elliptiques. En 1922, Louis Mordell a démontré que pour une telle courbe, on peut trouver un nombre fini de ses points de manière à ce que toute la courbe soit engendrée par ces quelques points. Ces points sont appelés base finie de la courbe. On peut également associer à la courbe une fonction, souvent notée L, qui dénombre les points de la courbe ayant une certaine propriété commune. La conjecture fait un lien entre la base finie de la courbe et la fonction L.
Ce problème touche la physique, plus particulièrement la mécanique des fluides (l'étude de la manière dont s'écoule un liquide ou un gaz). Les équations de Navier-Stokes décrivent le comportement d'un fluide dans un modèle que les physiciens nomment "approximation des milieux continus". Elles décrivent en fait des phénomènes très variés et dont la compréhension nous serait très importante : les courants atmosphériques ou océaniques, les écoulements d'eau dans un tuyau, ... La question est de trouver la solution générale de ces équations, ce qu'on ne sait encore faire que dans des cas particuliers.
Ce problème touche aussi la physique, notamment la théorie quantique. Il s'agit là aussi de résoudre certaines équations, qui traitent des forces fondamentales, c'est-à-dire les forces de base qui font fonctionner l'univers: gravitation, forces atomiques, ...
C'est peut-être le problème le plus facilement compréhensible par un non-mathématicien. L'informatique est l'art de trouver des algorithmes permettant de faire faire à une machine des calculs trop longs ou rébarbatifs pour un humain. Les informaticiens ont introduit la notion de complexité qui exprime le temps d'exécution d'un algorithme. Par exemple, la plupart des langages de programmation ont une fonction permettant de savoir si une valeur donnée est présente dans un tableau donné. Pour savoir cela, il suffit de parcourir l'ensemble du tableau et à chaque fois de comparer la valeur dans le tableau à celle qui nous intéresse. Ainsi pour résoudre ce problème, on ne fait que parcourir une fois le tableau. S'il a 10 éléments, on fera 10 comparaisons, et s'il en a 50, on fera 50 comparaisons. Si un tableau A est deux fois plus grands qu'un tableau B, l'algorithme prendra deux fois plus de temps avec A qu'avec B. Ce problème est ainsi dit "de complexité linéaire". Il existe des algorithmes plus complexes. Par exemple, décomposer un nombre entier en facteurs premiers prend beaucoup plus de temps. Si le nombre A a deux fois plus de chiffres que B, l'algorithme ne mettra pas deux fois plus de temps pour s'exécuter, mais bien plus! Ce problème est dit "non-linéaire". Un autre exemple célèbre est celui du voyageur de commerce, qui consiste étant donné un ensemble de villes où un voyageur doit se rendre à déterminer le chemin le plus court lui permettant de visiter chaque ville une fois. Les algorithmes sont classés selon leur complexité: on distingue par exemple la classe P des algorithmes dits polynomiaux (en particuliers les linéaires) de la classe NP des algorithmes un peu plus complexes que la classe P. Il se trouve que tout algorithme de la classe P est aussi dans la classe NP. La question est de savoir si l'inverse est vrai (et donc si être dans la classe P revient au même qu'être dans la classe NP).
Cette question est beaucoup plus importante qu'elle n'en a l'air. S'il s'avérait que les deux classes sont équivalentes, cela impliquerait par exemple qu'on peut trouver un algorithme efficace pour décomposer n'importe quel nombre en facteurs premiers... Or l'impossibilité actuelle de faire ceci est la base d'un grand nombre de systèmes de cryptographie, notamment pour les cartes à puce... Bref, la sécurité de votre carte bancaire dépend de cette question!
III) Plus que six
Ces conjectures sont ouvertes. Par exemple pour le problème P = NP, on ne sait pas si le résultat conjecturé (à savoir que les deux classes sont les mêmes) est vrai ou faux. La vraie question posée par le Clay Institute n'est donc pas de démontrer qu'il est vrai, mais soit de démontrer qu'il est vrai soit démontrer l'inverse. Tous ces problèmes sont donc ouverts. Tous? Sauf un.
Quelque part en Russie vit un homme nommé Grigori Perelman, né en 1966. En 2002, il publie sur Internet un article de 39 pages donnant les grandes lignes d'une proposition de démonstration de la conjecture de Poincaré. Plusieurs démonstrations en avaient déjà été proposées, mais celle-ci a une redoutable originalité: après de multiples vérifications par de nombreux comités, il s'avère que contrairement aux précédentes, elle est juste!
La justesse de la démonstration a été officiellement déclarée en 2006, année où la conjecture de Poincaré est devenue le théorème de Poincaré-Perelman. Le 22 août de la même année, le Congrès International de Mathématiques a comme tous les quatre ans décerné quatre médailles Fields, l'équivalent en mathématiques du prix Nobel (plus d'info ici). En toute logique, l'une d'entre elles était destinée à Perelman, qui l'a refusée (estimant que cela était inutile). Il a quelques semaines plus tard annoncé également son refus de toucher le million de dollars du Clay Institute.
Ainsi en 2006, un mathématicien russe, alors connu uniquement des spécialistes, est devenu doublement célèbre: pour avoir le premier vaincu un problème du millénaire, et pour avoir refusé la plus haute distinction mondiale de sa discipline... Mais cette histoire ne doit pas nous faire oublier l'essentiel: nous avons encore six problèmes à résoudre!
